মৌলিক সংখ্যা কখনও ফুরোয় না

সংখ্যারেখায় উপরে উঠতে থাকলে মৌলিক সংখ্যা ক্রমশ বিরল হয়, তবু কখনও ফুরোয় না। ইউক্লিডের প্রমাণটি ছোট্ট অথচ চমৎকার: ধরা যাক মৌলিক সংখ্যা মাত্র কয়েকটি — $p_1, p_2, \dots, p_n$। তৈরি করি

$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1.$

প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা গুণফলকে ভাগ করলেও $N$-কে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে $1$। তাই $N$-এর একটি মৌলিক উৎপাদক তালিকার বাইরে থাকতেই হবে — যা স্ববিরোধী। অতএব মৌলিক সংখ্যা অসীম।