সুঁই গলানোর গল্প: কাকেয়া অনুমানের এক শতাব্দীর সেরা প্রমাণ

২০২৫ সালের ফেব্রুয়ারিতে দুজন গণিতজ্ঞ নীরবে এমন একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন, যার জন্য গোটা ক্ষেত্রটি অর্ধশতাব্দী ধরে অপেক্ষা করছিল। NYU-র কুরান্ট ইনস্টিটিউটের হং ওয়াং এবং ব্রিটিশ কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের জোশুয়া জাল ত্রিমাত্রিক কাকেয়া অনুমান (Kakeya conjecture) প্রমাণ করে ফেলেন — এমন একটি সমস্যা যা দেখতে এত সহজ যে একটি শিশুও জিজ্ঞেস করতে পারে, অথচ এত গভীর যে অনেকগুলো অমীমাংসিত প্রশ্নের পুরো একটি স্তম্ভ এর ওপর দাঁড়িয়ে আছে। NYU-র একজন সহকর্মী একে বলেছেন "একুশ শতকের সর্বোচ্চ গাণিতিক অর্জনগুলোর একটি।"

টেবিলের ওপর একটি সুঁই

গল্পের শুরু ১৯১৭ সালে, যখন জাপানি গণিতজ্ঞ সোইচি কাকেয়া (Sōichi Kakeya) একটি নিরীহ প্রশ্ন করেন: সমতলে এমন সবচেয়ে ছোট ক্ষেত্রফলের অঞ্চল কোনটি, যার ভেতরে একটি সুঁই (একক দৈর্ঘ্যের রেখাংশ) ঘুরিয়ে প্রতিটি দিকে নির্দেশ করানো যায়?

একটি পেনসিল সমতলে রেখে তার মাঝবিন্দুর চারপাশে ঘোরালে সেটি $\frac{\pi}{4}$ ক্ষেত্রফলের একটি বৃত্ত ঢেকে ফেলে। কিন্তু চতুরভাবে সরিয়ে-ঘুরিয়ে নিলে আরও অনেক ভালো করা যায় — সামনে-পেছনে দুলিয়ে দিলে তিন-কাঁটাওয়ালা একটি বাঁকানো আকৃতি (ডেল্টয়েড) তৈরি হয়, যার ক্ষেত্রফল মাত্র $\frac{\pi}{8}$। আপনার মনে হবে, নিশ্চয়ই কোনো সবচেয়ে ছোট সম্ভব ক্ষেত্রফল আছে।

নেই। এক সত্যিকারের চমকপ্রদ ফলাফলে আব্রাম বেসিকোভিচ ১৯২০-এর দশকে দেখান যে ক্ষেত্রফলকে যত খুশি ছোট করা যায় — আপনি যে ধনাত্মক সংখ্যাই বলুন না কেন, তার চেয়েও ছোট। সূক্ষ্মভাবে কাটা ও সরানো ত্রিভুজ দিয়ে গড়া তাঁর গঠনটি এমন একটি সেট তৈরি করে যেটিতে প্রতিটি দিকে একটি একক রেখাংশ থাকে, অথচ যার পরিমাপ শূন্য (measure zero): ক্ষেত্রফলের অর্থে এটি কার্যত অদৃশ্য। এগুলোকে এখন বলা হয় বেসিকোভিচ সেট বা কাকেয়া সেট।

"ক্ষেত্রফল" থেকে "মাত্রা"

ক্ষেত্রফল যদি শূন্যে নেমে যেতে পারে, তবে ক্ষেত্রফল ভুল মাপকাঠি। সঠিক মাপকাঠি হলো মাত্রা (dimension) — তবে "রেখা ১-মাত্রিক, সমতল ২-মাত্রিক" — এই পরিচিত ধারণার চেয়ে সূক্ষ্মতর এক অর্থে। একটি কাকেয়া সেটের ক্ষেত্রফল শূন্য হতে পারে, অথচ একটি নির্দিষ্ট অর্থে সেটি "পুরু" থেকে যায়। এটি ধরতে গণিতজ্ঞরা ব্যবহার করেন হাউসডর্ফ মাত্রা (Hausdorff dimension) এবং তার ঘনিষ্ঠ সম্পর্কিত মিনকাউস্কি (বক্স-গোনা) মাত্রা (Minkowski dimension)।

স্বজ্ঞাটা এমন: একটি সেটকে $\delta$ বাহুবিশিষ্ট ছোট ছোট বাক্স দিয়ে ঢাকুন। $\delta \to 0$ হলে যদি প্রায় $N(\delta) \sim \delta^{-d}$ সংখ্যক বাক্স লাগে, তবে সেটের মাত্রা $d$। একটি মসৃণ রেখার জন্য লাগে $\sim \delta^{-1}$ বাক্স; ভরাট একটি বর্গের জন্য লাগে $\sim \delta^{-2}$। ফ্র্যাক্টালের ক্ষেত্রে ভগ্নাংশ মান আসে — মাত্রা মাপে যে সেটের "ভর" জুম করার সঙ্গে কীভাবে বাড়ে, নিছক ক্ষেত্রফল বা আয়তন নির্বিশেষে।

এই নতুন দৃষ্টিভঙ্গি আধুনিক কাকেয়া অনুমান দেয়: $\mathbb{R}^n$-এ প্রতিটি কাকেয়া সেট — অর্থাৎ প্রতিটি দিকে একটি একক রেখাংশ ধারণকারী প্রতিটি সেট — এর মাত্রা অবশ্যই পূর্ণ $n$ হতে হবে। অন্য কথায়, বেসিকোভিচের গড়া শূন্য-পরিমাপের দানবগুলোকেও কোনো নিম্নমাত্রিক ছায়ায় চেপ্টে দেওয়া যায় না; আয়তন শূন্য হওয়া সত্ত্বেও তারা মাত্রাগতভাবে তাদের পুরো স্থান ভরে রাখে।

সমতলে এটি রয় ডেভিস ১৯৭১ সালে মীমাংসা করেন: $\mathbb{R}^2$-এ একটি কাকেয়া সেটের মাত্রা সর্বদা $2$। কিন্তু $n=3$ মাত্রার ক্ষেত্রটি — জ্যাঁ বুর্গাঁ, নেটস কাটজ, টেরেন্স টাও ও ল্যারি গাথের বড় অবদান সত্ত্বেও — পঞ্চাশ বছরেরও বেশি সময় ধরে অজেয় থেকে যায়।

একটি সুঁইয়ের ওপর এত কিছু নির্ভর করে কেন

একটি ঘূর্ণায়মান সুঁই নিয়ে কেউ এত মাথা ঘামাবে কেন? কারণ কাকেয়া সমস্যা একটি ভার বহনকারী দেয়াল। টাও ও অন্যরা বহুদিন ধরে যেমন জোর দিয়ে এসেছেন, ভিন্ন ভিন্ন দিকে নির্দেশিত সরু নলগুলো কীভাবে পরস্পরকে ঢাকতে পারে বা পারে না — তা সুরেলা বিশ্লেষণের (harmonic analysis) গভীর প্রশ্নগুলো নিয়ন্ত্রণ করে — যেমন রেস্ট্রিকশন ও বখনার–রিস অনুমান, তরঙ্গ সমীকরণের স্থানীয় মসৃণতা — এবং তা আংশিক অন্তরক সমীকরণ, সংখ্যাতত্ত্ব, এমনকি কম্পিউটার বিজ্ঞান পর্যন্ত বিস্তৃত। এই সমস্যাগুলো একটি ক্রমে সাজানো, যার তলায় থাকে কাকেয়া: কাকেয়া প্রমাণ করুন, আর তার ওপরের পুরো কাঠামোটি স্থিতিশীল হয়ে যায়।

ওয়াং ও জাল কীভাবে সুঁই গলালেন

এই অগ্রগতির পথ আঁকা হয়েছিল ২০১৪ সালে কাটজ ও টাওয়ের হাতে। তাঁরা যুক্তি দেন, যেকোনো অনুমানভিত্তিক ব্যতিক্রম — অর্থাৎ খুব ছোট একটি কাকেয়া সেট — একসঙ্গে "দানাদার (grainy)" (ছোট সারিবদ্ধ ব্লক দিয়ে গড়া), "সমতলীয় (plany)" (একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া নলগুলো প্রায় একই সমতলে থাকা), এবং "আঠালো (sticky)" (কাছাকাছি দিকে নির্দেশিত রেখাংশগুলো ভৌতভাবেও কাছাকাছি থাকা) হতে বাধ্য। আঠালোত্বই ছিল ধরা সবচেয়ে কঠিন ধর্ম। ২০২২ সালে ওয়াং ও জাল একে তার বিরুদ্ধেই কাজে লাগান, দেখিয়ে দেন যে ত্রিমাত্রিক আঠালো কাকেয়া সেটের মাত্রা অবশ্যই পূর্ণ ৩ — এতে সম্ভাব্য ব্যতিক্রমের একটি গোটা শ্রেণি বাতিল হয়ে যায়।

তাঁদের ২০২৫ সালের গবেষণাপত্র, যার শিরোনাম Volume estimates for unions of convex sets, সমস্যাটিকে জ্যামিতিকভাবে নতুন রূপে সাজিয়ে কাজটি শেষ করে। তাঁরা $\mathbb{R}^3$-এ সরু $\delta$-নলের সংগ্রহ অধ্যয়ন করেন, এই শর্তে যে কোনো একটি উত্তল (convex) অঞ্চলের ভেতরে খুব বেশি নল আঁটানো যাবে না। যুক্তির মূল অংশ দেখায় যে এমন নলগুলোর সম্মিলন অবশ্যই প্রায় সর্বোচ্চ আয়তন দখল করবে — ফলে ব্যতিক্রমের আর কোনো লুকানোর জায়গা থাকে না। ফলাফলটি ঝকঝকে: $\mathbb{R}^3$-এ প্রতিটি কাকেয়া সেটের মিনকাউস্কি ও হাউসডর্ফ মাত্রা ঠিক $3$।

এরপর কী

এত কেন্দ্রীয় একটি প্রমাণ দরজা বন্ধ করে না, বরং একটি গলিপথ খুলে দেয়। গণিতজ্ঞরা ইতিমধ্যেই যুক্তিটিকে আরও সংক্ষিপ্ত করতে এবং পদ্ধতিগুলোকে স্তম্ভের ওপরের দিকে থাকা রেস্ট্রিকশন ও স্থানীয়-মসৃণতা অনুমানগুলোর দিকে ঠেলতে ছুটছেন — আর $n \geq 4$ মাত্রার দিকেও, যেগুলো এখনও সম্পূর্ণ খোলা। এক শতাব্দী পর অবশেষে ত্রিমাত্রায় সুঁই গলানো গেল। কাকেয়ার ছোট্ট ধাঁধাটির আশ্চর্য দিকটি হলো — আধুনিক গণিতের কত কিছু যে শেষ পর্যন্ত এর সঙ্গে ঝুলে ছিল।