সাতটি মডেল, একটি ফাইনাল: গণিতের চোখে ২০২৬ বিশ্বকাপ

সারাদিন ছাত্রছাত্রীদের অঙ্ক করাই, নিজে অঙ্ক করি, প্রথাগত স্কুলের অঙ্কের বাইরে গিয়ে অলিম্পিয়াডের এই অঙ্কগুলির মধ্যে নিমজ্জিত থাকি এবং রাতে দেশবিদেশের ফুটবল খেলা দেখি- এইরকম একটি দৈনিক রুটিন, যখন দীর্ঘদিন ধরে চলছে তখন মনে হলো যদি দুটোর যোগসূত্র খুঁজে পাওয়া যায়? বুঝলাম- জীবনে যত অঙ্ক কষেছি প্রত্যেকটির উত্তরের মাধুর্য নির্ভর করেছে প্রশ্নের আভিজাত্যের উপর, প্রশ্নগুলি সবসময় যে খুব গুরুগম্ভীর হয় এমনটা নয়। বরং খুব গোবেচারা দেখতে প্রশ্ন থেকে গণিতের গতিপথ বারবার ত্বরান্বিত হয়েছে যুগে যুগে, ভেবে দেখলাম আমরা যে ফুটবল খেলা দেখি একই খেলাকে ঘিরে আমরা কত রকম মতামত তৈরি করি। এই মতামতগুলি জেতা-হারার এই বাইনারিতে দাঁড়িয়ে হলেও-এর গভীরে লুকিয়ে থাকে অজস্র গভীর এবং ছোট ছোট প্রশ্ন, আধুনিক ফুটবল শুধু দুটো টিমের মধ্যে হয়না, লড়াই হয় দুটি দর্শন, বিজ্ঞানের দুইরকম প্রয়োগের, দুই দিকের দুই দলের খেলার মাঠে পারস্পরিক গঠন, প্রতিরোধের সময় অভেদ্য দুর্গ তৈরি, আক্রমনের সময় অন্যের অভেদ্য দুর্গ ভেঙে ফেলার নকশা-এইরকম অজস্র বিষয়। মাথায় প্রশ্ন এলো- এইগুলি কি গণিত দিয়ে বুঝে ফেলা যায়? কিন্তু, শুধু কি ওই প্রশ্নগুলি? সাথে আছে একটি ভুল, একটি লাল কার্ড পুরো অর্থ বদলে দেয় খেলায়।

এটাই বোধহয় আরও উৎকর্ষ করে তোলে প্রশ্নটিকে-যে নতুন অনিশ্চয়তাকে গণনা করে কীভাবে জেতা হারার বাইনারি থেকে নির্ধারণ করা যায়?

পড়তে শুরু করি নানান বই যেগুলির কথায় আমি ধীরে ধীরে আসবো, ২০২৫-২৬ চ্যাম্পিয়নস লীগ ছিল আমার প্রথম রিসার্চ ল্যাব যেখানে আমি তথ্য সংগ্রহ করা, তথ্যকে বোঝা, এবং পুরো ম্যাচকে গাণিতিক পরিভাষায় রূপান্তরিত করা যায় তার হাতে কলমে অভ্যাস করা। সর্বশেষে আমি সাতটি মডেল বানাই একে একে প্রবেশ করি আমার দ্বিতীয় গবেষণাগার- ২০২৬ পুরুষ বিশ্বকাপে। আমার ব্যবহৃত সাতটি অ্যানালিটিক্যাল ফ্রেমওয়ার্ক হলো:

1. পয়সন গোল মডেল (Poisson Goal Model)
2. ডিক্সন-কোলস মডেল (Dixon–Coles Model)
3. মন্টে কার্লো সিমুলেশন (Monte Carlo Simulation)
4. এক্সপেক্টেড গোল বা xG-ভিত্তিক বিশ্লেষণ
5. এক্সপেক্টেড থ্রেট (xT) ও পাসিং নেটওয়ার্ক
6. এলো রেটিং (Elo Rating)
7. পিথাগোরিয়ান এক্সপেক্টেশন (Pythagorean Expectation)

ম্যাচগুলিকে ধরে পর্যবেক্ষণ এবং সংগৃহীত মডেলগুলি দিয়ে বোঝার চেষ্টা করতে থাকি, এবং যখন দেখি যে অনেকাংশই ঠিকঠাক বেরোতে শুরু করেছে তখন ১৬ই জুলাই ২০২৬ ফাইনালের তিনদিন আগে তৈরি করি আমার রিপোর্ট, কি হতে পারে? কে জিততে পারে? ফাইনালের দিন গিয়ে বুঝলাম- ফাইনালের উত্তেজনা সেটার সাথে নিজের তৈরি রিপোর্ট যতটা মিলে যায় সেটার মিলে যাওয়াটা ফুটবল ও অঙ্ক নিয়ে একইসাথে এক অদ্ভুত অনুভূতির জন্ম দিয়েছে, নিচে পুরোটি বিস্তারিত আলোচনা করলাম।

প্রথমেই প্রশ্ন আসবে যে মডেলগুলি কোথা থেকে এলো? প্রথমেই জানিয়ে রাখি এখানে একটি মডেলও আমার আবিষ্কার নয়। এগুলি ইতিমধ্যেই প্রতিষ্ঠিত, আমি শুধু তাদের একত্রিত করেছি খেলার বৈচিত্র্য এবং গাণিতিক নিয়মে।

আমার প্রথম মডেল ছিল পয়সন গোল মডেল (Poisson Goal Model)। ফুটবলের ফলাফলকে এই গাণিতিক পরিকাঠামোতে দেখার ধারণাটি Maher-এর। দুই দলের আক্রমণ এবং রক্ষণ শক্তিকে আলাদা আলাদা প্যারামিটার ধরে গোলের হার অনুমান করার একটি কৌশল এটি। এখান থেকে ৯০ মিনিটে জয়-পরাজয়ের/ড্র হওয়ার সম্ভাবনা পাওয়া যায়। কিন্তু, এই মডেলের সমস্যা হলো এখানে প্রতিটি গোলকে একে অপরের থেকে নিরপেক্ষ ধরা হয়। কিন্তু, ফুটবল মাঠে কি তাই হয়? যে টিম প্রথম গোল করে অনেক সময় তারা আরও আক্রমণাত্মক হয়ে ওঠে এবং দ্বিতীয় দলকে অনেক সতর্ক হয়ে পড়তে হয়। আবার, এই আক্রমণাত্মক হতে গিয়ে অনেকসময় ফাঁক থেকে Counter-attack- সামান্য একটা ফ্রি কিক বা কর্নার থেকে গোল হয়ে যায়।

অর্থাৎ গোলগুলোকে পুরোপুরি স্বাধীন ঘটনা হিসেবে দেখা বাস্তব ফুটবলের জন্য সবসময় যথেষ্ট নয়। এই score-dependence-এর সমস্যাকে ধরার জন্য আমি Dixon–Coles model ব্যবহার করি। ফুটবলের ভাষায় যাকে আমরা অনেক সময় মোমেন্টাম বলি, এই মডেল গাণিতিক ভাবে সেই পারস্পরিক নির্ভরতার কাছাকাছি যাওয়ার চেষ্টা করে। এখানে আমরা একটি প্যারামিটার পাই যেটি দুটি গোলের মধ্যে পারস্পরিক নির্ভরতা গণনা করে।

কিন্তু, তাতেও কি সব সমস্যার সমাধান হয়? দেখছি ফুটবলে কিছু টিম থাকে তারা পুরো ম্যাচে শামুকের মতো গুটিয়ে থাকে অল্প সুযোগ তৈরি করে কিন্তু সেটাকে দারুন কাজে লাগায়। আবার কিছু টিম মুহুর্মুহু আক্রমণ করে, অনেক সুযোগ তৈরি করে, কিছু সুযোগ কাজে লাগাতে পারে তুলনামূলক ভাবে অনেক কম। অর্থাৎ একটি গোল খাওয়ার পর অন্য টিমের খেলার ধরন অনেকটা পরিষ্কার করে দেয় পরের গোলের সম্ভাবনা, পুরো বিশ্বকাপ দেখছিলাম স্পেন প্রচুর সুযোগ তৈরি করলেও গোল করছিল বেশির ভাগ ক্ষেত্রেই কম। এবং আর্জেন্টিনা বেশির ভাগ ক্ষেত্রেই শেষের দিকে অল্প সুযোগে ম্যাচ ছিনিয়ে নিয়ে যাচ্ছিলো। তখন আমি কাজে লাগাই মন্টে কার্লো পদ্ধতি যেখানে আমরা নিশ্চিত ভাবে কোন সিদ্ধান্ত গ্রহণ করতে পারছি না- সেখানে Random experiment অসংখ্যবার চালিয়ে আনুমানিক উত্তর খোঁজার জন্যে এটি ব্যবহৃত হয়। একটু ভেঙ্গে বলি। ফুটবল অ্যানালিটিক্সে বহুল ব্যবহৃত হলো expected Goal (xG), এটি ০ থেকে ১ পর্যন্ত একটি স্কেল, কোনো টিম একটি শট মারলো তার xG যদি ০ হয় তার অর্থ এই শট থেকে গোল হওয়া নিশ্চিত ভাবে অসম্ভব এবং xG ১ হলে মডেল অনুযায়ী গোল হওয়ার সম্ভাবনা ১০০%; বাস্তবে এমন মান প্রায় দেখা যায় না। ০.২ মানে সেই শট থেকে গোল হওয়ার সম্ভাবনা ২০%। তাহলে দেখতে হবে দুটো টিম কতগুলি শট নিলো? প্রতিটি শটের xG কত? জটি, একটি অনিশ্চয়তায় ঘেরা জালের মাপ প্রশ্ন। মন্টে কার্লো এই অনিশ্চয়তাকে randomness হিসেবে model করে। পুরো টুর্নামেন্টে আমি দুটো টিমের xG গুলোকে নিয়ে, প্রতিটি শটের xG-কে তার গোল হওয়ার probability (Bernoulli trial) হিসেবে ধরে ২,০০,০০০ বার simulate করেছি। যেখানে প্রতিটি simulation-এ computer একটি Random number তৈরি করবে যাকে হতে হবে ০ থেকে ১ এর মধ্যে। অর্থাৎ আমরা একটি uniform distribution (0,1) পাবো।

এবার যদি স্পেনের xG এবং এর মধ্যে তুলনা করে নির্ধারণ করবো গোলটি হবে কিনা, অর্থাৎ ধরুন স্পেন পাঁচটি শট নিলো যাদের xG হলো যথাক্রমে ০.১০, ০.৩৫, ০.০৫, ০.২০, ০.১৫ এবং Computer নিজে থেকে Random number তৈরি করলো যথাক্রমে ০.৭৩, ০.২১, ০.৮১, ০.১৩, ০.৪৪ তাহলে দ্বিতীয় এবং চতুর্থটি গোল, বাকি তিনটি মিস। একই ভাবে আর্জেন্টিনারটাও গণনা করা হলো, এবং প্রতিটি simulation-এর ফাইনাল স্কোরগুলি নিয়ে দেখা হবে স্কোর-গুলিতে স্পেন কতবার জিতছে, কতবার ড্র, আর কতবার আর্জেন্টিনা জিতছে। এবার কিন্তু বাস্তবে একটি ম্যাচের জন্য একবারই random experiment করা হচ্ছে, আমরা ২,০০,০০০ বার simulate করছি কেন? এখানেই Probability-র Law of Large numbers কাজ করে।

কিন্তু এটি যেন গোলের একটি প্রশ্ন সমাধান করলে অন্য অজস্র প্রশ্ন চলে আসে। চ্যাম্পিয়নস লীগে আমার অভিজ্ঞতা হয়েছিল যে এই মন্টে কার্লো মডেলের error গণনা করা গেলেও অন্য কিছু সমস্যা থাকছে। যেমন প্রতিটি শট তো একটিই প্লেয়ার মারছে না। একই জায়গা থেকে মারছে না। অর্থাৎ এবার প্রশ্ন তৈরি প্লেয়ার ভিত্তিক এবং মাঠের অবস্থা ভিত্তিক পর্যালোচনায়। ফুটবলে xT অর্থাৎ expected Threat দিয়ে মাঠকে কয়েকটি জোনে ভাগ করে নিয়ে কোন জোন থেকে কোন টিমের আক্রমণ তৈরি করার সম্ভাবনা কতটা। ধরুন, আর্জেন্টিনার অপনেন্ট বক্সে যদি আর্জেন্টিনার প্লেয়ারের পায়ে বল থাকে তাহলে সেখানে তাদের xT কম কিন্তু সেখানে যদি Spain এর প্লেয়ার পায়ে বল পেয়ে যায় তাহলে তাদের xT অনেক বেশি। এবার ক্রমাগত বল পাস হচ্ছে এবং এক জোন থেকে অন্য জোনে যাচ্ছে এবং প্রতিমূহর্তে xT বাড়ছে এবং কমছে। ঐতিহাসিক ডেটা থেকে আমরা প্রতিটি জোনের ভ্যালু জানতে পারছি।

অথচ এখানে যে সমস্যাটি থাকছে সেটি হলো ধরুন Toni Kroos, Luka Modric, Messi-এর মতো প্লেয়াররা ফুটবলের স্বাভাবিক যে পাসিং Sequence যার মধ্যে দিয়ে একটি টিম ক্রমাগত অন্য টিমের বিপদ বাড়াতে থাকে, তার বাইরে গিয়ে এরা এমন কিছু জোনে পাস নিখুঁত ভাবে দিতে পারে যেটা অন্য টিমের বোঝার আগেই বিপদ ঘটে যেতে পারে, যদি একটি zone-এর xT ঐতিহাসিক average দিয়ে নির্ধারিত হয়, তাহলে এমন player-দের কীভাবে model করা যায় যারা historical average-এর তুলনায় সম্পূর্ণ ভিন্ন passing option তৈরি করতে পারে? মেসির কথা যদি বলি আমি খুঁজে পেয়েছিলাম ঠিক কোন কোন জোনে মেসির পায়ে বল গেলে এই বিপজ্জনক পাসগুলি আসতে পারে। তাহলে এখানে পাসগুলিকে বোঝা দরকার এবং সাথে এটাও বোঝা দরকার যে বিপক্ষ টিম অন্য টিমের এই পাসিং নেটওয়ার্ক কীভাবে ভাঙবে? এবং মেসিদের মতো প্লেয়ারদের বিপজ্জনক জোনগুলিতে পাস বল পাওয়া থেকে আটকাবে অথবা পেয়ে গেলেও পাস দেওয়া থেকে আটকাবে সেখানে আমাদের বুঝতে হয় Passing Network, এবং এখান থেকে গাণিতিক ভাবে বিষয়টি আরও রোমাঞ্চকর হয়ে ওঠে। কারণ এবার ধীরে ধীরে প্রবেশ করতে থাকে Graph theory এবং Linear Algebra।

একটি টিমের প্রতিটি প্লেয়ারকে node বা Vertices এবং তাদের মধ্যে পাসগুলিকে Edge বলছি আমরা এখন তাহলে প্রশ্ন দাঁড়ালো, একটি টিমের অন্য টিমের Passing Network ভেঙে ফেলার চেষ্টা এবং সেখান থেকে নিজের Passing Network-এর মাধ্যম দিয়ে xT বেশি এরকম জায়গায় বল পেয়ে যাওয়া এবং শট নেওয়া। Passing network-এর structural connectivity বোঝার জন্য Algebraic connectivity ব্যবহার করা যায়। Weighted passing graph-এর Laplacian-এর second-smallest eigenvalue $\lambda_2$ network-টির কতটা structurally connected তা সম্পর্কে একটি পরিমাপ দেয়। ফুটবলে Buildup-এর গবেষকেরা এই মাপটি প্রয়োগ করেন।

এবার আপনারা নিশ্চয়ই ভাবছেন যে দুটো টিমের জেতা হারার হিসেব কি কিছুটা বলবে না তাদের ব্যাপারে? সেখানে ফুটবল অ্যানালিটিক্স গবেষকেরা অনেকে দাবাতে ব্যবহৃত এলো রেটিং (Elo Rating) প্রয়োগ করেন, এলো রেটিং কি? ধরুন দুটি টিমের খেলা হবে তাদের মধ্যে একজনের এলো রেটিং অন্য জনের থেকে বেশি, ঐতিহাসিক অভিজ্ঞতা থেকে সেটিই এই এলো রেটিং গণনা মনে রাখে। তবে এটি শুধুমাত্র "কে বেশি ভালো" তা বলে না, বর্তমান রেটিংয়ের পার্থক্য থেকে একটি expected result তৈরি করে এবং আসল ফলাফলের ওপর ভিত্তি করে রেটিং আপডেট করে। যার এলো রেটিং বেশি সে জিতলে তার এই রেটিং সামান্য বাড়ে আবার যার কম সে জিতলে তার অনেকটা বাড়ে এবং অপরজনের অনেকটা কমে।

কিন্তু Elo যেখানে দীর্ঘমেয়াদি historical strength-এর দিকে তাকায়, সেখানে আমার দরকার ছিল শুধুমাত্র এই tournament-এ দুই দলের performance দিয়ে তাদের তুলনা করা। এখানেই আসে পিথাগোরিয়ান এক্সপেক্টেশন (Pythagorean expectation)। এটি বেসবলের থেকে নেওয়া একটি ধারণা। তবে আমার এই প্রচেষ্টায় কিছু বাঁধা ছিল।

প্রথম বাঁধা ছিল - প্রতিটি প্লেয়ারের স্থানাঙ্ক দেওয়া ট্র্যাকিং ডেটা যা এইধরনের গুরুত্বপূর্ণ গণনার জন্যে প্রয়োজনীয় সেটা বাণিজ্যিক কারণে সীমাবদ্ধ হওয়ায় আমি পাইনি। বিশ্বকাপের আগের প্রতিটি প্লেয়ারের এবং টিমের Real time ডেটার অভাব ছিল অগত্যা আমাকে নানান আর্টিকেল থেকে এগুলি পেতে হয়। এবং এইবার বিশ্বকাপে ৪৮টি দল যোগ দেওয়ায় অনিশ্চয়তা অনেকটাই বাড়ে প্রতিটি টিমের জন্যে।

এইবার আমি আমার গণনা কি বলেছিল? নিচে ফাইনাল ডেটা দেওয়ার আগে বলে রাখি মন্টে কার্লো মডেল বলেছিল যে মেসির একটি পাস এতোটা ভয়ানক যে আর্জেন্টিনার জেতার সম্ভাবনা অনেকটা বেড়ে যাচ্ছে শুধুমাত্র তার এই দক্ষতার জন্যে অর্থাৎ গোটা বিশ্বকাপ জুড়ে আর্জেন্টিনা নিজেদের $\lambda_2 = 28.6$ Passing-connectivity দিয়ে Chaos তৈরি করবে এই সুযোগটি পাওয়ার জন্যে। উল্টোদিকে স্পেন Passing-connectivity দিয়ে খেলার গতি নিয়ন্ত্রণ করার চেষ্টা করবে, যার কেন্দ্র রদ্রি। রদ্রিকে যদি আর্জেন্টিনা বন্ধ করে রাখতে পারে তাহলে স্পেনের Passing-Connectivity দূর্বল হবে। এছাড়াও নিচের এই টেবিলটি পাওয়া যায়:

(Weighted prediction-এ প্রতিটি model-কে তার validation error বা অতীত সামঞ্জস্য অনুযায়ী নির্দিষ্ট weight দেওয়া হয়েছিল)

Poisson model-এর সবচেয়ে সম্ভাব্য scoreline (modal score) ছিল ১-০।

এবং কি দেখা গেল? দেখা গেল সত্যিই স্পেন কুড়িটি শট নিলো, আর্জেন্টিনা ২টি। কুড়িটির মধ্যে ১২টি ছিল লক্ষ্যে। কিন্তু, নব্বই মিনিটে গোল হলো না, সেখানে আমার মডেলের প্রথম সমস্যা ধরা পড়লো, কারণ আমার xG-based model শটের মান (shot quality) এবং শটের সংখ্যা (shot frequency) ধরেছিল, কিন্তু শটের ফলাফলকে গোলকিপারের নিজস্ব দক্ষতা (goalkeeper-specific intervention) দিয়ে condition করেনি। ফলে আর্জেন্টিনার গোলকিপার এমি মার্টিনেজ সেই নব্বই মিনিটে যে ৯টি সেভ করেছে, সেটি আমি কোথাও ভেবে দেখিনি। পরের ত্রিশ মিনিটে তিনি আরও ২টি সেভ করেন কারণ আমার মডেলগুলির দ্বিতীয় সমস্যা ধরা পড়ে যখন আর্জেন্টিনা নব্বই মিনিটের শেষের দিকে একটি লাল কার্ড পায়। আমার model প্লেয়ারদের অবস্থার পরিবর্তন বা সময়ের সাথে বদলে যাওয়া numerical advantage-কে condition করেনি। এমতাবস্থায় কি হতে পারে আমি গণনা করিনি তারপর ১০৬ মিনিটে স্পেন ১-০ গোলে জিতে যায়।

তাহলে মডেলগুলি ঠিক কি করেছিল? প্রথমত, প্রতিটি মডেল স্পেনকে এগিয়ে রাখে। পিথাগোরিয়ান এক্সপেক্টেশন স্পেনের ৯৬% জেতার সম্ভাবনা দেখাচ্ছিল। তাই আমি এই প্রায় অবাস্তব Prediction-এর জন্যে এর weightage খুব কমাই। দ্বিতীয়ত, স্কোর ১-০ হয়েছিল, যদিও অতিরিক্ত সময়ে। Dixon-coles বলেছিল যে ৯০ মিনিটে ড্রয়ের সম্ভাবনা বাড়ছে। কিন্তু যেটা হলো না, স্পেনের দুর্ভেদ্য রক্ষণভাগ মেসিকে তার সবচেয়ে কার্যকরী জোনগুলিতে প্রায় পায়ে বল পেতেই দিলো না, মেসিকে শট অন টার্গেটে রাখতে বাধ্য করলো, অর্থাৎ স্পেনের এটি হিসেবের মধ্যেই ছিল এবং যেমনটা পাওয়া গেছিল গোটা টিমের ইঞ্জিন রদ্রিকে কেন্দ্র করে স্পেনের মিডফিল্ড স্ট্রাকচার (midfield structure) আর্জেন্টিনাকে মাত্র ২টি অকার্যকরী শটে সীমাবদ্ধ রাখলো।

সাতটি মডেল একত্রিত করা মানে শুধুই জেতা-হারা নির্ধারণ করা নয়, বরং আমি নিজেদের ফুটবলকে দেখা এবং বোঝার সাথে গণিত দিয়ে বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানের একটি চেষ্টা করেছিলাম, সেটিতে এখনো কাজ করছি। এটির ফলে আমার ফুটবল দেখা যেমন অনেক বদলেছে সেভাবেই গণিত করার আনন্দ হয়ে উঠেছে আরও পরিপূর্ণ। প্রাত্যহিক জীবনে সারাদিন গণিত করা এবং রাতে ফুটবল দেখার বিচ্ছিন্নতার যে ছক, সেটি ভেঙে ফেলে অলিম্পিয়াডের গণিতের ছকবাঁধা নিয়মের মতোই তাদের আরও কাছাকাছি দেখার একটি সামান্য চেষ্টা এটি।